من و ریاضی

اعداد مثلثی

ساراکریمی — Sun, 01 May 2011 18:38:32 GMT

اعداد مثلثی

1، 3، 6، 10، 15، 21 و ... بنظر شما این اعداد چه ویژگی مشترکی دارند؟ اگر دست به قلم نشویم و شکل نکشیم و آزمایش نکنیم، فهمیدن ارتباط میان آنها کمی دشوار است. به این شکل دقت کنید مشکل شما حل خواهد شد. به اعداد موجود در این سری، اعداد مثلثی می گوییم.

1 = 1
3= 1+2
6= 1+2+3
10= 1+2+3+4
15= 1+2+3+4+5
21= 1+2+3+4+5+6
. . .

اما شکل اول یک ایده جدید به ما می دهد که می توانیم این اعداد را همانند پاراگراف بالا نیز تفسیر کنیم.

به بیان دیگر می توان گفت که هرعدد مثلثی تشکیل شده است از حاصل جمع یکسری از اعداد متولی طبیعی. به این معنی که اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد از اعداد طبیعی، دومین معادل است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی، سومین معادل است با مجموع س عدد از اعداد طبیعی و ... و بالاخره n امین عدد مثلثی معادل است با مجموع n عدد از اعداد طبیعی که اگر ریاضیات دبیرستان را هنوز فراموش نکرده باشید بخاطر خواهید آورد که مقدار این عدد معادل n(n+1)/2 خواهد بود. (یک تصاعد ساده حسابی)

مجموع دو عدد مثلثی متوالی

اگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عدد مربع می شود. مثلا" 1+3=4 یا 3+6=9 یا 6+10=16 و ... البته دلیل آن ساده است به شکل دوم توجه کنید و ببینید که چگونه دو مثلث قرمز و سبز روی هم تشکیل یک مربع را می دهند. (سعی کنید با استدلال ریاضی هم این موضوع را ثابت کنید، ساده است از همان رابطه بالا استفاده کنید.)

مطلب اخیر اغلب بصورت قضیه "مربع هر عدد طبیعی برابر است با مجموع دو عدد مثلثی متوالی" نیز مطرح می شود.

ارتباط نام سایت گوگل با ریاضی

ساراکریمی — Sun, 01 May 2011 18:31:33 GMT

آیا میدانید google به چه معنی است؟ Google از کلمه Googol گرفته شده است. Googol هم اسم مستعار یک عدد است که توسط «میلتون سیروتا» نامگذاری شده است.عدد مذکور «ده به توان صد» است(به بزرگی این عدد دقت کنید) انتخاب گوگل جنبه شعاری دارد.به این مفهوم که گوگل قصد دارد تا سرویسها و خدمات و اهداف خود را به تمام جهان گسترش دهد.
به عدد «ده به توان ده به توان صد» گوگل پلکس(Googolplex) میگویند. و به عدد «ده به توان ده به توان ده به توان صد»گوگل دوپلکس (Googolduplex) میگویند.

عدد تاکسی

ساراکریمی — Sun, 01 May 2011 18:06:33 GMT

زمانی که ریاضیدان انگلیسی هاردی برای عیادت ریاضیدان شهیر هند رامانوجان به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره کرد که شماره تاکسی که به وسیله آن به بیمارستان آمده، عدد بی ربط و بی خاصیت 1729 بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد که اتفاقا 1729 بسیار جالب توجه است . خود ۱۷۲۹ عدد اول است. دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر کدام عدد اول هستند. جمع چهار رقم تشکیل دهنده آن میشود ۱۹ که اول است. جمع دو عدد اولیه و دو عدد آخری میشود ۸۱۱ که باز هم عدد اول است دو عدد ابتدایی(سمت چپ) اگر جمع شوند؛عدد ۸۲۹ میشود که باز هم عدد اول است. دو عدد اولیه اگر از هم دیگر کسر شوند؛عدد ۶۷ ساخته میشود که باز هم عدد اول است. سه عدد سازنده آن عدد اول است(۱و۷و ۲). عدد اول؛عددی است که فقط بر یک و خودش تقسیم میشودبنحوی که نتیجه تقسیم عددی کسری نباشد(خارج تقسیم نداشته باشد) جمع عددی اعداد تشکیل دهنده ۱۷۲۹ یا:۱+۷+۲+۹=۱۹ است؛ عکس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ اگر۱۹*۹۱بشودنتیجه برابر ۱۷۲۹ میشود. این هم یکی دیگر از اختصاصات ۱۷۲۹ است که در هر عددی دیده نمیشود. عدد 1729 اولین عددی است که می توان آنرا به دو طریق به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت نوشت : به توان 3 به علاوه 1 به توان 3 و 10 به توان 3 به علاوه 9 به توان 3 هردو برابر 1729 می باشند .(اولین مطلب موجود در رابطه با این خاصیت 1729 به کارهای بسی ریاضیدان فرانسوی قرن هفدهم باز می گردد.) حال اگر کمی مانند ریاضیدانها عمل کنید باید به دنبال کوچکترین عددی بگردید که به سه طریق مختلف حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت است این عدد87539319 می باشد که در سال 1957توسط لیچ کشف شد: 414 به توان 3 + 255 به توان 3 و 423 به توان 3+ 228 به توان 3 و 436 به توان 3 + 167 به توان 3 هر سه جوابشان برابر 87539319 است . امروزه ریاضیدانان عددی را که به n طریق مختلف به صورت حاصلجمع مکعبهای دو عدد مثبت باشد ،n ــامین عدد تاکسی می نامند و آنرا Taxicabبا نمایش می دهند.جالبتر از همه اینکه ،هاردی و رایت ثابت کردند برای هر عدد طبیعی n ناکوچکتر از 1 ،n ــامین عدد تاکسی وجود دارد ! هرچند، چهارمین تا هشتمین اعداد تاکسی نیز کشف شده اند ولی تلاشها برای یافتن نهمین عدد تاکسی تاکنون نا کام مانده است . متاسفانه اطلاعات زیادی درباره اعداد تاکسی موجود نیست . در ضمن میتوان مسئله را از راههای دیگر نیز گسترش داد . مثلا همانگونه که هاردی در ادامه داستان فوق از رامانو جان پرسید و او قادر به پاسخگویی نبود ، این پرسش را مطرح کنید:

کوچکترین عددی که به دوطریق حاصلجمع توانهای چهارم دو عدد مثبت می باشد ،کدام است؟

این عدد توسط اویلر یافت شده است :635318657 حاصلجمع توان چهارم 59 و 158 همچنین توانهای چهارم 133 و 134 می باشد.

عبور از پل

ساراکریمی — Fri, 29 Apr 2011 18:38:22 GMT

شخصی دو شمش طلا که وزن هرکدام 10 کیلو گرم است می دزدد. پلیس او را تعقیب میکند هنگام فرار به یک پل طنابی میرسد که قبل آن نوشته شده حداکثر وزن قابل تحمل 80 کیلوگرم. وزن دزد مورد نظر 70 کیلوگرم میباشد . و او بدون اینکه طناب پل پاره شود از ان عبور می کند و دو شمش طلا را هم میبرد . سوال این است که این کار را چطور انجام داده؟

عدد 7

ساراکریمی — Thu, 28 Apr 2011 15:01:13 GMT

مقدمه

:عدد هفت عددی است که شاید مثل همه ی عدد های دیگر در نظر ما عادی جلوه کند اما نگرش ما وقتی متبلور می شود که خواص عدد هفت را بدانیم و ببینیم چه «هفت» هایی در زندگی ما وجود دارند و ما در گیر و دار زندگی ماشینی و با بی تفاوتی از کنار آن ها رد می شویم مثلا شاید جالب باشد که بدانیم، رنگین کمان دارای هفت رنگ است .عجایب جهان، هفت تا هستند.(که به عجایب هفت گانه معروفند ) یا در یونان باستان، اسطوره ای با نام هفت خدای، در ذهن مردم نقش بسته است، ویا شهر عشق، که دراشعار عطار آمده است، هفت شهر می باشد، سوره ی مبارکه حمد، که اوّلین سوره ی قرآن کریم است، هفت آیه دارد. آسمان دارای هفت طبقه است. بهشت وجهنم هر کدام دارای هفت طبقه و درجه هستند و طواف خانه خدا هفت دور است، موسیقی ایران و یونان هفت دستگاه داد، هفت نوع ساز بادی وجود دارد و علاوه بر این هفت نت موسیقی وجود دارد(دو، ر، می، فا، سل، لا، سی) و..

تاریخچه

.در سال ۱۸۸۹ میلادی کتابی ار یک جهان گرد منتشر شد که، از جمله روش شمردن را در میان قبیله ای از تورس شرح داده است. اینها برای شمردن تنها از دو واژه استفاده می کردند: یک و دو. برای عدد سه می گفتند «دو و یک » برای چهار «دو و دو»، برای پنج «دو و دو یک » و برای شش «دو و دو و دو» ولی برای عددهای بزرگ تر از ۶، هر قدر بود، می گفتند «خیلی ». گرچه این آگاهی مربوط به پایان سده ی نوزدهم است ولی می تواند گواهی بر شیوه ی شمردن در آغاز شکل گیری مفهوم عدد در میان انسان های نخستین باشد. بعد ها که برای عددهای بزرگتر هم نامی در نظر گرفتند به احتمالی برای عدد «هفت» از همان واژه ی قبلی «خیلی» یا «بسیار» استفاده کردند. عدد هفت که سده های متوالی برای آنها نا شناخته بود، اندک اندک به صورت عددی مقدس در آمد. وقتی که مصری ها، بابلی ها و دیگر امت ها توانستند پنج سیاره ی نزدیک تر به خورشید را بشناسند، با اضافه کردن ماه و خورشید، به عدد هفت رسیدند و این بر تقدس عدد ۷ افزود وقتی در قصه های کهن تر، که تا زمان ما هم ادامه پیدا کرده است، صحبت از شهری می شود که هفت برج و هفت بارو داشت، به معنای آن است که این شهر برج و باروهای بسیار داشت. هفت آسمان و هفت دریا و هفت کشور، به معنای آسمان ها و کشور ها و دریاهای بزرگ است نه هفت آسمان و هفت دریا (نه کم و نه زیاد ). هنوز در زبان فارسی اندرز می دهند « هفت بار گز کن یک بار پارچه کن ». این جمله به معنای آن نیست که برای دقت کار و کم کردن اشتباه در اندازه گیری یا هر کار دیگری باید درست ۷ بار آزمایش کرد، نه شش یا هشت بار. در اینجا هم هفت به معنی «بسیار» است. عدد۱۳ هم چنین سرنوشتی دارد....ب) هفت و نزد بسیاری از اقوام عهد باستان «هفت» عدد ویژه ای بود. در فلسفه و نجوم مصریان و بابلی ها، عدد هفت به عنوان مجموع هر دو زندگی، سه و چهار، جایگاه ویژه ای داشت.(پدر و مادر و فرزند؛ یعنی سه انسان، پایه و اساس زندگی هستند و عدد چهار مجموع چهار جهت آسمان و باد است.)
ایرانیان قدیم در آیین زرتشت، اهورامزدا را مظهر پاکی میدانستند و برای او هفت صفت را بر می شمردند و در مقابل او اهریمن را پدید آورنده ی پلیدیها می دانستند و می گفتند در پیرامون اهورامزدا فرشتگانی هستند که مظاهر صفات حسنه هستند و برای احترام به آن ها که اول هرکدامشان سین بود هنگام سال تحویل سفره می گستراندند و هفت قسم خوراکی که نام هریک با سین شروع می شود: سیر، سرکه، سیب، سماق، سمنو، سنجد، سکه، و سبزی را سر سفره می گذاردند که به سفره ی هفت سین معروف بود.
برای فیلسوف و ریاضیدان یونانی«فیثاغورث» نیز عدد هفت، مفهموم ویژه ی خود را داشت که از مجموع دو عدد سه و چهار تشکیل می شود: مثلث و مربع نزد ریاضیدانان عهد باستان اشکال هندسی کامل محسوب می شدند، از این رو عدد هفت به عنوان مجموع سه و چهار برای آن ها عدد مقدسی بود. علاوه بر این در یونان هر هفت سیاره را خدایی میدانستند : سلن، هیلیوس،آرس،هرمس، زئوس، آفرودیت و کرونوس.
یهودیان قدیم نیز برای عدد هفت معنای ویژه ای قایل بودند. در کتاب اول عهد عتیق (تورات) آمده است که خداوند جهان را در شش روز خلق کرد، در روز هفتم خالق به استراحت پرداخت. موسی در ده فرمان خود از پیروانش می خواهد که این روز آرامش را مقدس بدارند(روز شنبه و روز تعطیل یهودیان). علاوه بر این در آن کتاب مقدس هفت با عنوان عدد تام و کامل نیز استعمال شده است. از آن زمان عدد هفت نزد یهودیان و بعد ها نیز نزد مسیحیان که عهد عتیق را قبول کردند، به عنوان عددی مقدس محسوب می شد.
به این ترتیب بود که از دوران باستان هفتگانه های بیشماری تشکیل شدند: یونانیان باستان همه ساله هفت تن از بهترین هنرپیشگان نقش های سنگین و غمناک و نقش های طنز و کمدی را انتخاب میکردند. آن ها مانند رومی های باستان به هفت هنر احترام میگذاشتند. روم بر روی هفت تپه بنا شده بود. در تعلیمات کلیسای کاتولیک هفت گناه کبیره(غرور، آزمندی، بی عفتی، حسد، افراط، خشم و کاهلی) و هفت پیمان مقدس(غسل تعمید، تسلیم و تصدیق، تقدیس و بلوغ، ازدواج، استغفار و توبه، غسل قبل از مرگ با روغن مقدس، در آمدن به لباس روحانیون مسیحی) وجود دارد. برای پیروان محمد(ص) آخرین مکان عروج، آسمان هفتم محسوب می شود. در بیست و هفتم ژوئن هر سال، روز «هفت انسان خوابیده » مسیحیان یاد آن هفت برادری را که در سال ۲۵۱ بعد از میلاد، برای عقیده و ایمان خود، زنده زنده لای دیوار نهاده شده و شهید شدند، گرامی می دارند؛ مردم عامه می گویند که اگر در این روز باران ببارد، به مدت هفت هفته بعد از آن هوا بد خواهد بود، آن گاه انسان باید هفت وسیله ی مورد نیازش را بسته بندی کند و با چکمه های هفت فرسخی خود به آن دورها سفر کند. صور فلکی خوشه ی پروین یا ثریا به عنوان «هفت ستاره» معروف است، در حالی که حتی با چشم های غیر مسلح میتوان در این صورت فلکی تا یازده ستاره را دید.
عرفای بزرگ عشق و وصال را در هفت مرحله و هفت وادی نشان داده اند و فاصله ی بین هستی و تباهی را پنچ مرحله دانسته اند.
در افسانه ها نیز با هفت سحر آمیز برخورد می کنیم: سوار ریش آبی هفت همسر داشت، سفید برفی با هفت کوتوله پشت هفت کوه زندگی می گرد و افسانه ی اژدهای هفت سر...
علاوه بر این می توان به هقت اقلیم، هفت اورنگ، هفت دفتر شاهنامه، هفت پیکر، هفت هیکل، هفت گناه کبیره، هفت خان رستم، هفت الوان، هفت گنج، هفت رکن نماز،هفت تحلیل و هفت طواف (در اعمال حج)، هفت قبله(مکه، مدینه،نجف،کربلا،کاظمین،سامرا،مشهد) و... اشاره کرد و به این ترتیب بود که تعداد بیشماری هفتگانه در دنیا بوجود آمد و به عدد هفت تقدس خاصی بخشید

...

نوروز مبارک.

ساراکریمی — Thu, 31 Mar 2011 11:26:36 GMT

حافظ گشوده ام و چه زیباست فال تو

حتما قشنگ میشود امسال حال تو

فرخنده باد روز و شب و ماه و سال تو

سال نو مبارک

دفتر اول

ساراکریمی — Sun, 23 Jan 2011 17:49:29 GMT

من به مهمانی دنیا رفتم

من به دشت اندوه

من به باغ عرفان

من به ایوان چراغانی دانش رفتم .

سلام

ساراکریمی — Sun, 23 Jan 2011 17:48:03 GMT

سلام به همه دوستای خوبم به خصوص شاگردای عزیزم .

امروز بیست و پنجم دیماه هشتاد ونه در یک شب برفی شروع به طراحی یک وبلاگ برای ارتباط مجازی ولی نزدیک با شما نمودم . امیدوارم همگی شما نیز درهرچه بهتر شدن این ارتباط دوستانه با ارسال نظرات , انتقادات و پیشنهادات خود نسبت به طرح و مطالب وبلاگ وحتی نحوه ی تدریس من در کلاس کوشا باشید و با افتخار تمامی مطالب با ارزشتان با نام خود شما در وبلاگ استفاده و درج خواهد شد .

(بدون عنوان)

ساراکریمی — Sun, 23 Jan 2011 17:39:54 GMT

زندگی تنها به این درد میخورد که انسان به دو کار مشغول باشد.

1. ریاضی بخواند.

2. ریاضی یاد بدهد. از پوراسون (فرستنده :رضوان مرادی)